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Hashing [15829번]

APC에 온 것을 환영한다. 만약 여러분이 학교에서 자료구조를 수강했다면 해시 함수에 대해 배웠을 것이다. 해시 함수란 임의의 길이의 입력을 받아서 고정된 길이의 출력을 내보내는 함수로 정의한다. 해시 함수는 무궁무진한 응용 분야를 갖는데, 대표적으로 자료의 저장과 탐색에 쓰인다.
이 문제에서는 여러분이 앞으로 유용하게 쓸 수 있는 해시 함수를 하나 가르쳐주고자 한다. 먼저, 편의상 입력으로 들어오는 문자열에는 영문 소문자(a, b, …, z)로만 구성되어있다고 가정하자. 영어에는 총 26개의 알파벳이 존재하므로 a에는 1, b에는 2, c에는 3, …, z에는 26으로 고유한 번호를 부여할 수 있다. 결과적으로 우리는 하나의 문자열을 수열로 변환할 수 있다. 예를 들어서 문자열 “abba”은 수열 1, 2, 2, 1로 나타낼 수 있다.
해시 값을 계산하기 위해서 우리는 문자열 혹은 수열을 하나의 정수로 치환하려고 한다. 간단하게는 수열의 값을 모두 더할 수도 있다. 해시 함수의 정의에서 유한한 범위의 출력을 가져야 한다고 했으니까 적당히 큰 수 M으로 나눠주자. 짜잔! 해시 함수가 완성되었다. 이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.
  $H = \displaystyle\sum_{i=0}^{l-1}{a_i}$    $mod M$

해시 함수의 입력으로 들어올 수 있는 문자열의 종류는 무한하지만 출력 범위는 정해져있다. 다들 비둘기 집의 원리에 대해서는 한 번쯤 들어봤을 것이다. 그 원리에 의하면 서로 다른 문자열이더라도 동일한 해시 값을 가질 수 있다. 이를 해시 충돌이라고 하는데, 좋은 해시 함수는 최대한 충돌이 적게 일어나야 한다. 위에서 정의한 해시 함수는 알파벳의 순서만 바꿔도 충돌이 일어나기 때문에 나쁜 해시 함수이다. 그러니까 조금 더 개선해보자.
어떻게 하면 순서가 달라졌을때 출력값도 달라지게 할 수 있을까? 머리를 굴리면 수열의 각 항마다 고유한 계수를 부여하면 된다는 아이디어를 생각해볼 수 있다. 가장 대표적인 방법은 항의 번호에 해당하는 만큼 특정한 숫자를 거듭제곱해서 곱해준 다음 더하는 것이 있다. 이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.

$H = \displaystyle\sum_{i=0}^{l-1}{a_ir^i}$    $mod M$ 

보통 r과 M은 서로소인 숫자로 정하는 것이 일반적이다. 우리가 직접 정하라고 하면 힘들테니까 r의 값은 26보다 큰 소수인 31로 하고 M의 값은 1234567891(놀랍게도 소수이다!!)로 하자.
이제 여러분이 할 일은 위 식을 통해 주어진 문자열의 해시 값을 계산하는 것이다. 그리고 이 함수는 간단해 보여도 자주 쓰이니까 기억해뒀다가 잘 써먹도록 하자.

입력

첫 줄에는 문자열의 길이 L이 들어온다. 둘째 줄에는 영문 소문자로만 이루어진 문자열이 들어온다.
입력으로 주어지는 문자열은 모두 알파벳 소문자로만 구성되어 있다.

출력

문제에서 주어진 해시함수와 입력으로 주어진 문자열을 사용해 계산한 해시 값을 정수로 출력한다.

생각해볼점

해시(Hash)

위키피디아 링크
나무위키 링크
해시 테이블(Hash Table) 이란 해시 함수를 사용하여 색인(index)을 버킷(bucket)이나 슬롯(slot)의 배열로 계산하는 자료구조이다.
문제의 예시에 나와있는 것처럼 데이터가 들어오면 이를 해시 함수를 이용하여 다른 값(해시값)으로 치환하며, 이 해시값을 인덱스로 이용해 데이터를= 저장 및 탐색에 사용하게 된다.
서로 다른 데이터가 같은 해시값을 가지지 않는 다고 가정했을 때, 특정 데이터를 찾고자 할 경우 해당하는 해시값을 구해 그 값을 인덱스로 가진 배열을 찾으면 끝이기 때문에 시간복잡도는 O(1)이 된다.
충돌이 있을 경우에는 보통 같은 인덱스 값을 가진 배열을 연결 리스트로 연결하여 처리한다. 다만 최악의 경우 시간복잡도가 O(N)이 되고, 보안상의 문제도 발생할 수 있기 때문에 충돌이 일어나지 않도록 해시 함수를 결정하는게 중요하다고 한다.

이 문제의 경우

해시함수의 수식대로 계산을 해나갈 경우 도중에 int형의 범위를 넘어갈 수 있다는 점을 유의해야한다.
따라서 중간중간 계산값으로 저장되는 변수는 long long형으로 지정해 사용하였다.
그럼에도 자료형의 범위를 벗어나는 경우가 있기 때문에, a + b = c일 때 a modN + b modN = c mod N인 점을 이용하여 중간 계산 과정에서 1234567891로 나누어가며 진행해야 문제에서 요구한 범위에 대한 계산을 성공적으로 수행할 수 있다.

코드 구현

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

static long long	power(int nb, int power)
{
	long long	temp;

	temp = nb;
	if (power == 0)
		return (1);
	else if (power < 0)
		return (0);
	while (power > 1)
	{
		temp = (temp * nb) % 1234567891;
		power--;
	}	
	return (temp);
}

int main()
{
	int		len, idx, temp, hash_result = 0;
	long long hash_temp = 0;
	char	*str;

	scanf("%d", &len);
	str = (char *)malloc((len + 1) * sizeof(char));
	scanf("%s", str);

	idx = -1;
	while (++idx < len)
	{
		temp = str[idx] - 'a' + 1;
		hash_temp = temp * power(31, idx) + hash_result;
		hash_result = hash_temp % 1234567891;
	}

	printf("%d", hash_result);
	free(str);
	return (0);
}

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